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小学数学几十种典型应用题,解题思路、数量关系与例题剖析(之二)  

2015-12-16 08:37:49|  分类: 学习园地 |  标签: |举报 |字号 订阅

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  正反比例问题

【含义】    两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

 

【数量关系】  判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。

 

【解题思路和方法】  解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

 

例1    修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米?

解  由条件知, 公路总长不变。

原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12

现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12

比较以上两式可知,把总长度当作12份,则300米相当于(4-3)份,从而知公路总长为   

                                300÷(4-3)×12=3600(米)

                                    答: 这条公路总长3600米。

例2    张晗做4道应用题用了28分钟,照这样计算,91分钟可以做几道应用题?

解  做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系

设91分钟可以做X应用题  则有  28∶4=91∶X

28X=91×4    X=91×4÷28     X=13

                                    答:91分钟可以做13道应用题。

例3    孙亮看《十万个为什么》这本书,每天看24页,15天看完,如果每天看36页,几天就可以看完?

解  书的页数一定,每天看的页数与需要的天数成反比例关系

设X天可以看完,就有  24∶36=X∶15   36X=24×15   X=10

                                    答:10天就可以看完。

例4    一个大矩形被分成六个小矩形,其中四个小矩形的面积如图所示,求大矩形的面积。

                                                

25

20

36

B

16

            解   由面积÷宽=长可知,当长一定时,面积与宽成正比,所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等,第二行三个小矩形的宽也相等。因此,A∶36=20∶16

        25∶B=20∶16   解这两个比例,得  A=45  B=20

        所以,大矩形面积为  45+36+25+20+20+16=162

                                        答:大矩形的面积是162


 

          按比例分配问题

【含义】    所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。

 

【数量关系】  从条件看,已知总量和几个部分量的比;

              从问题看,求几个部分量各是多少。  总份数=比的前后项之和

 

【解题思路和方法】  先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。

例1    学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵?

            解  总份数为           47+48+45=140

                     一班植树    560×47/140=188(棵)

                     二班植树    560×48/140=192(棵)

                     三班植树    560×45/140=180(棵)

           答:一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2    用60厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?

            解  3+4+5=12    60×3/12=15(厘米)  60×4/12=20(厘米)

                60×5/12=25(厘米)

            答:三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

例3    从前有个牧民,临死前留下遗言,要把17只羊分给三个儿子,大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊。

            解  如果用总数乘以分率的方法解答,显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解,则很容易得到   1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2

         9+6+2=17    17×9/17=9   17×6/17=6    17×2/17=2

            答:大儿子分得9只羊,二儿子分得6只羊,三儿子分得2只羊。

例4    某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21,第一车间比第二车间少80人,三个车间共多少人?

   人  数

   80人

一共多少人?

对应的份数

   12-8

8+12+21

            解  80÷(12-8)×(8+12+21)=820(人)

                                       答:三个车间一共820人。


 

         百分数问题

【含义】    百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分,而百分数则无需;分数既可以表示“率”,也可以表示“量”,而百分数只能表示“率”;分数的分子、分母必须是自然数,而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号“%”。

            在实际中和常用到“百分点”这个概念,一个百分点就是1%,两个百分点就是2%。

 

【数量关系】  掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系:

              百分数=比较量÷标准量    标准量=比较量÷百分数

 

【解题思路和方法】   一般有三种基本类型:

(1)       求一个数是另一个数的百分之几;

(2)       已知一个数,求它的百分之几是多少;

(3)       已知一个数的百分之几是多少,求这个数。

例1    仓库里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的与剩下的各占原重量的百分之几?

        解  (1)用去的占    720÷(720+6480)=10%

            (2)剩下的占    6480÷(720+6480)=90%

                                         答:用去了10%,剩下90%。

例2    红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,男职工人数比女职工少百分之几?  

        解   本题中女职工人数为标准量,男职工比女职工少的人数是比较量,  所以   

                        (525-420)÷525=0.2=20% 

                    或者  1-420÷525=0.2=20%

                                         答:男职工人数比女职工少20%。

例3    红旗化工厂有男职工420人,女职工525人,女职工比男职工人数多百分之几?  

        解  本题中以男职工人数为标准量,女职工比男职工多的人数为比较量,因此   

                       (525-420)÷420=0.25=25% 

                     或者  525÷420-1=0.25=25%

                                        答:女职工人数比男职工多25%。

例4    红旗化工厂有男职工420人,有女职工525人,男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?

           解  (1)男职工占  420÷(420+525)=0.444=44.4%

               (2)女职工占  525÷(420+525)=0.556=55.6%

           答:男职工占全厂职工总数的44.4%,女职工占55.6%。

例5    百分数又叫百分率,百分率在工农业生产中应用很广泛,常见的百分率有:

                 增长率=增长数÷原来基数×100%  

                 合格率=合格产品数÷产品总数×100%

                 出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%

                 出勤率=实际出勤天数÷应出勤天数×100%

                 缺席率=缺席人数÷实有总人数×100%

                 发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%

                 成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%

                 出粉率=面粉重量÷小麦重量×100%

                 出油率=油的重量÷油料重量×100%

                 废品率=废品数量÷全部产品数量×100%

                 命中率=命中次数÷总次数×100%

                 烘干率=烘干后重量÷烘前重量×100%

                 及格率=及格人数÷参加考试人数×100%


 

        “牛吃草”问题

【含义】    “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

 

【数量关系】    草总量=原有草量+草每天生长量×天数

 

【解题思路和方法】  解这类题的关键是求出草每天的生长量。

 

例1    一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?

        解  草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话,得有多少头牛?    设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:

            (1)求草每天的生长量

        因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(1×10×20);另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,所以

                      1×10×20=原有草量+20天内生长量

        同理          1×15×10=原有草量+10天内生长量

    由此可知  (20-10)天内草的生长量为  1×10×20-1×15×10=50

        因此,草每天的生长量为    50÷(20-10)=5

            (2)求原有草量

        原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100

            (3)求5 天内草总量

        5 天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125

            (4)求多少头牛5 天吃完草

        因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数    125÷5=25(头)

                                     答:需要5头牛5天可以把草吃完。

例2    一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?

            解  这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:

            (1)求每小时进水量

    因为,3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量

        10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量

    所以,(10-3)小时内的进水量为    1×5×10-1×12×3=14

    因此,每小时的进水量为    14÷(10-3)=2

            (2)求淘水前原有水量

         原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30

            (3)求17人几小时淘完

    17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2),所以17人淘完水的时间是    30÷(17-2)=2(小时)

                                          答:17人2小时可以淘完水。


 

        鸡兔同笼问题

【含义】    这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

 

【数量关系】第一鸡兔同笼问题:

             假设全都是鸡,则有  兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)

             假设全都是兔,则有  鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)

             第二鸡兔同笼问题:

             假设全都是鸡,则有       兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)

             假设全都是兔,则有       鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)

 

【解题思路和方法】  解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。

 

例1    长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?

            解  假设35只全为兔,则  鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)

                                     兔数=35-23=12(只)

        也可以先假设35只全为鸡,则  兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)

                                     鸡数=35-12=23(只)

                                        答:有鸡23只,有兔12只。

例2    2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?

            解  此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜,则有

                白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)

                                       答:白菜地有10亩。

例3    李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本 3 .20元,日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?

          解  此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本,则有

              作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)

              日记本数=45-15=30(本)

                                      答:作业本有15本,日记本有30本。

例4    (第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?

          解  假设100只全都是鸡,则有 

              兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)

              鸡数=100-20=80(只)

                                     答:有鸡80只,有兔20只。

例5    有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚3人吃1个馍,问大小和尚各多少人?

           解  假设全为大和尚,则共吃馍(3×100)个,比实际多吃(3×100-100)个,这是因为把小和尚也算成了大和尚,因此我们在保证和尚总数100不变的情况下,以“小”换“大”,一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此,共有小和尚    (3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)

              共有大和尚      100-75=25(人)

                                    答:共有大和尚25人,有小和尚75人。


 

 



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